Bài tập 20, § 1

Cho E là một không gian tiền Hilbert, cho F là một không gian Banach và cho $u: E\rightarrow F$ là một ánh xạ tuyến tính.

(a) Chứng minh rằng $u$ là một ánh xạ tuyến tính compact khi và chỉ khi $\|u(e_n)\| \rightarrow 0$ đối với mọi dãy trực chuẩn $(e_n)$ của E. (Để chứng minh điều kiện này là đủ, sử dụng TG, IX, p. 20, mệnh đề 14.)

(b) Giả sử rằng E là một không gian Hilbert kiểu đếm được và F = E. Để tồn tại một cơ sở trực chuẩn $(e_n)_{n\in\mathbf{N}}$ của E sao cho $\|u(e_n)\| \rightarrow 0$, điều kiện cần và đủ là $u$ không phải là một tự đồng cấu Fredholm.

(c) Giả sử rằng E là một không gian Hilbert và F = E. Nếu $\langle u(e_n)|e_n\rangle \rightarrow 0$ đối với mọi dãy trực chuẩn $(e_n)$ của E, thì $u$ là một ánh xạ tuyến tính compact.