Exercice 21, § 1

Soit E un espace hilbertien de type dénombrable.

a) Soit A un ensemble infini de vecteurs unitaires de E qui converge faiblement vers 0 selon le filtre du complémentaire des parties finies. Démontrer qu’il existe une suite $(x_n)_{n\geqslant 1}$ à valeurs dans A et une suite orthonormale $(e_n)_{n\geqslant 1}$ dans E telles que $\|x_n-e_n\|\leqslant 1/n$ pour tout $n\geqslant 1$.

b) Soit $u$ une application linéaire de E dans E, non nécessairement continue. On suppose que pour toute suite orthonormale $(e_n)$ dans E, la suite $(u(e_n))$ converge faiblement vers 0. Démontrer que $u$ est continue et compacte.

c) Soit $u$ un endomorphisme de E. Il existe une base orthonormale $(e_n)_{n\in\mathbf{N}}$ de E telle que la suite $(u(e_n))_{n\in\mathbf{N}}$ converge faiblement vers 0 si et seulement s’il n’existe pas d’endomorphisme $v$ de E tel que $v\circ u-1_E$ est compact.