Bài tập 21, § 1

Cho E là một không gian Hilbert kiểu đếm được.

(a) Cho A là một tập hợp vô hạn các vectơ đơn vị của E hội tụ yếu về 0 theo bộ lọc của phần bù của các tập con hữu hạn. Chứng minh rằng tồn tại một dãy $(x_n)_{n\geqslant 1}$ có các giá trị trong A và một dãy trực chuẩn $(e_n)_{n\geqslant 1}$ trong E sao cho $\|x_n-e_n\|\leqslant 1/n$ với mọi $n\geqslant 1$.

(b) Cho $u$ là một ánh xạ tuyến tính từ E vào E, không nhất thiết liên tục. Giả sử rằng, với mọi dãy trực chuẩn $(e_n)$ trong E, dãy $(u(e_n))$ hội tụ yếu về 0. Chứng minh rằng $u$ liên tục và compact.

(c) Cho $u$ là một tự đồng cấu của E. Tồn tại một cơ sở trực chuẩn $(e_n)_{n\in\mathbf{N}}$ của E sao cho dãy $(u(e_n))_{n\in\mathbf{N}}$ hội tụ yếu về 0 khi và chỉ khi không tồn tại một tự đồng cấu $v$ của E sao cho $v\circ u-1_E$ là compact.