Exercice 22, § 1

Soit E un espace hilbertien complexe. Soient $u$ et $v$ des endomorphismes positifs de E.

a) Pour tout nombre réel $p$ tel que $0< p <1$ et tout $x\in \mathbf{R}_+$, on a

$x^p=$ sin($\pi p\pi$ )$\int_0^{+\infty}t^p(\frac{1}{t}-\frac{1}{t + x})dt$.

b) On suppose que $u\leqslant v$. Pour tout nombre réel $p$ tel que $0< p <1$, on a $u^p\leqslant v^p$. (Utiliser le lemme 14 de I, p. 119, b) et la question précédente.)

c) Soit $n\in \mathbf{N}$. On pose $a=v^{n/2}\circ u^n\circ v^{n/2}$ et $b= (v^{1/2}\circ u\circ v^{1/2})^n$. Si $a\leqslant 1_E$, alors $b\leqslant 1_E$.

d) On suppose que $u$ et $v$ sont à trace finie. Pour tout entier $n\in \mathbf{N}$, on a

Tr(($v^{1/2}\circ u\circ v^{1/2}$)$^n$)$\leqslant$ Tr($v^{n/2}\circ u^n\circ v^{n/2}$). (Soient $a$ et $b$ comme dans la question c) ; en utilisant le lemme 5 de IV, p. 161, se ramener à démontrer que la plus grande valeur propre de $\widehat{\wedge}^nb$ est inférieure à celle de $\widehat{\wedge}^na$; remplacer E par $\widehat{\wedge}^nE$ et $u,v$ par $\widehat{\wedge}^nu$ et $\widehat{\wedge}^nv$, respectivement, puis appliquer la question précédente.)