Bài tập 22, § 1

Cho E là một không gian Hilbert phức. Cho $u$ và $v$ là các tự đồng cấu dương của E.

a) Với mọi số thực $p$ sao cho $0< p <1$ và mọi $x\in \mathbf{R}_+$, ta có

$x^p=$ sin($\pi p\pi$ )$\int_0^{+\infty}t^p(\frac{1}{t}-\frac{1}{t + x})dt$.

b) Giả sử rằng $u\leqslant v$. Với mọi số thực $p$ sao cho $0< p <1$, ta có $u^p\leqslant v^p$. (Dùng Bổ đề 14 của I, p. 119, b) và câu hỏi trước.)

c) Cho $n\in \mathbf{N}$. Đặt $a=v^{n/2}\circ u^n\circ v^{n/2}$ và $b= (v^{1/2}\circ u\circ v^{1/2})^n$. Nếu $a\leqslant 1_E$, thì $b\leqslant 1_E$.

d) Giả sử rằng $u$ và $v$ có vết hữu hạn. Với mọi số nguyên $n\in \mathbf{N}$, ta có

Tr(($v^{1/2}\circ u\circ v^{1/2}$)$^n$)$\leqslant$ Tr($v^{n/2}\circ u^n\circ v^{n/2}$). (Cho $a$ và $b$ như trong câu hỏi c); dùng Bổ đề 5 của IV, p. 161, rút gọn về việc chứng minh rằng trị riêng lớn nhất của $\widehat{\wedge}^nb$ nhỏ hơn trị riêng lớn nhất của $\widehat{\wedge}^na$; thay E bởi $\widehat{\wedge}^nE$ và $u,v$ bởi $\widehat{\wedge}^nu$ và $\widehat{\wedge}^nv$, tương ứng, rồi áp dụng câu hỏi trước.)