Exercice 3, § 1

Soit E un espace hilbertien complexe et soit $B = (e_i)_{i\in I}$ une base orthonormale de E. Pour tout $i\in I$, on note $p_i$ l’orthoprojecteur d’image $\mathbf{C}e_i$.

a) Soit K une partie précompacte de E. Pour tout $\varepsilon >0$, il existe un sous-ensemble fini J de I tel que, pour tout $x\in K,\|x-\sum_{i\in J}p_j(x)\|\leqslant \varepsilon$.

b) Soit $u\in \mathscr{D}_B(E)$ et notons $\lambda = (\lambda_i)_{i\in I}$ sa famille des valeurs propres. La famille $(\lambda_ip_i)$ est sommable dans $\mathscr{L}(E)$ muni de la topologie de la convergence précompacte et sa somme est égale à $u($cf. prop. 1 de IV, p. 147)