Bài tập 3, § 1

Cho E là một không gian Hilbert phức và $B = (e_i)_{i\in I}$ là một cơ sở trực chuẩn của E. Với mọi $i\in I$, ta ký hiệu $p_i$ là phép chiếu trực giao có ảnh $\mathbf{C}e_i$.

a) Cho K là một tập con tiền compact của E. Với mọi $\varepsilon >0$, tồn tại một tập con hữu hạn J của I sao cho, với mọi $x\in K,\|x-\sum_{i\in J}p_j(x)\|\leqslant \varepsilon$.

b) Cho $u\in \mathscr{D}_B(E)$ và ký hiệu $\lambda = (\lambda_i)_{i\in I}$ là họ các trị riêng của nó. Họ $(\lambda_ip_i)$ khả tổng trong $\mathscr{L}(E)$ được trang bị tôpô hội tụ tiền compact và tổng của nó bằng $u($cf. prop. 1 of IV, p. 147)