Exercice 5, § 1

a) Soit $E = L^2([0,1], \mu)$ où $\mu$ est la mesure de Lebesgue. L’image A de l’algèbre $L^{\infty}([0,1], \mu)$ par l’application qui à $f$ associe l’endomorphisme de multiplication par $f$ est une sous-algèbre commutative maximale de $\mathscr{L}(E)$ qui n’est pas de la forme $\mathscr{D}_B(E)$ pour une base orthonormale B de E. (Vérifier que l’algèbre A ne contient pas de projecteur minimal.)

b) Soit E un espace hilbertien de dimension infinie. Il existe une sous-algèbre commutative maximale de $\mathscr{L}(E)$ qui n’est pas de la forme $\mathscr{D}_B(E)$ pour B une base orthonormale de E.