Bài tập 5, § 1

(a) Cho $E = L^2([0,1], \mu)$ trong đó $\mu$ là độ đo Lebesgue. Ảnh A của đại số $L^{\infty}([0,1], \mu)$ qua ánh xạ gán cho $f$ tự đồng cấu là phép nhân bởi $f$ là một đại số con giao hoán cực đại của $\mathscr{L}(E)$ không có dạng $\mathscr{D}_B(E)$ đối với một cơ sở trực chuẩn B của E. (Kiểm tra rằng đại số A không chứa một phép chiếu cực tiểu.)

(b) Cho E là một không gian Hilbert vô hạn chiều. Tồn tại một đại số con giao hoán cực đại của $\mathscr{L}(E)$ không có dạng $\mathscr{D}_B(E)$ đối với B là một cơ sở trực chuẩn của E.