Exercice 6, § 1

Soit E un espace hilbertien complexe.

a) Soit $u$ un endomorphisme compact normal de E. Tout sous-espace fermé de E invariant par $u$ est invariant par $u^*$.

b) Si E est de dimension infinie, il existe un endomorphisme normal $u$ de E et un sous-espace fermé $F\subset E$ tels que :

(i) On a $u(F)\subset F$;

(ii) L’espace F n’est pas invariant par $u^*$;

(iii) L’espace $F^{\circ}$ n’est pas invariant par $u$;

(iv) L’endomorphisme de F induit par $u$ par passage aux sous-espaces n’est pas normal.