Bài tập 6, § 1

Cho E là một không gian Hilbert phức.

(a) Cho $u$ là một tự đồng cấu chuẩn tắc compact của E. Mọi không gian con đóng của E bất biến đối với $u$ đều bất biến đối với $u^*$.

(b) Nếu E có chiều vô hạn, tồn tại một tự đồng cấu chuẩn tắc $u$ của E và một không gian con đóng $F\subset E$ sao cho:

(i) Ta có $u(F)\subset F$;

(ii) Không gian F không bất biến đối với $u^*$;

(iii) Không gian $F^{\circ}$ không bất biến đối với $u$;

(iv) Tự đồng cấu của F cảm sinh bởi $u$ bằng cách chuyển qua các không gian con không phải là chuẩn tắc.