Exercice 7, § 1

Le but de cet exercice est de donner une preuve plus directe du théorème 1 de IV, p. 149. Soient E un espace hilbertien complexe de dimension infinie et $u$ un endomorphisme compact et normal de E.

a) Montrer que, pour tout nombre complexe $\lambda$ non nul, l’espace propre Ker($u-\lambda 1_E$) est de dimension finie.

b) Supposons $u$ hermitien. Montrer qu’il existe $x_0\not = 0$ dans E tel que

$\frac{\|u(x_0)\|^2}{\|x_0\|^2}=$ sup$_{x\in E-\{0\}}\frac{\|u(x)\|^2}{\|x\|^2}$.

c) Montrer que $x_0$ est un vecteur propre de $u$ pour une valeur propre $\lambda$ telle que $|\lambda |=\|u\|$.

d) Montrer qu’il existe un ensemble dénombrable I, une famille orthonormale $(e_i)_{i\in I}$ dans E et une famille $(\lambda_i)_{i\in I}$ de nombres réels tels que

pour tout $x\in E$.

e) Étendre le résultat au cas où $u$ est compact et normal. (Écrire $u=u_1+iu_2$ où $u_1$ et $u_2$ sont compacts, hermitiens et permutables.)