Bài tập 7, § 1

Mục đích của bài tập này là đưa ra một chứng minh trực tiếp hơn của Định lý 1 của IV, p. 149. Cho E là một không gian Hilbert phức vô hạn chiều và $u$ là một tự đồng cấu compact và chuẩn tắc của E.

(a) Bây giờ chứng minh rằng, với mọi số phức khác không $\lambda$, không gian riêng Ker($u-\lambda 1_E$) có số chiều hữu hạn.

(b) Giả sử $u$ là Hermit. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại $x_0\not = 0$ trong E sao cho

$\frac{\|u(x_0)\|^2}{\|x_0\|^2}=$ sup$_{x\in E-\{0\}}\frac{\|u(x)\|^2}{\|x\|^2}$.

(c) Bây giờ chứng minh rằng $x_0$ là một vectơ riêng của $u$ ứng với một trị riêng $\lambda$ sao cho $|\lambda |=\|u\|$.

(d) Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một tập hợp đếm được I, một họ trực chuẩn $(e_i)_{i\in I}$ trong E và một họ $(\lambda_i)_{i\in I}$ các số thực sao cho

với mọi $x\in E$.

(e) Mở rộng kết quả cho trường hợp $u$ compact và chuẩn tắc. (Viết $u=u_1+iu_2$ trong đó $u_1$ và $u_2$ là compact, Hermit và hoán vị.)