Exercice 8, § 1

Étiquette 02Y9, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 02Y9].

Théories spectrales, IV, p. 314

On munit le groupe $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ de sa mesure de Haar normalisée $\mu$ . a) Soit $h\in \mathscr{L}^2(\mathbf{R}/\mathbf{Z})$ . Pour $f\in \mathscr{L}^2(\mathbf{R}/\mathbf{Z})$ , on définit une fonction $C_h(f)$ sur $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ par la formule

C_h(f)(x) =\int_{\mathbf{R}/\mathbf{Z}}f(t)h(x-t)d\mu(t)

L’application $f\mapsto C_h(f)$ est un endomorphisme continu de $\mathscr{L}^2(\mathbf{R}/\mathbf{Z})$ , et définit par passage aux quotients un endomorphisme compact normal de $L^2(\mathbf{R}/\mathbf{Z})$ .

b) Déterminer le spectre de $C_h$ et la multiplicité spectrale des éléments de ce spectre. (Développer $h$ en série de Fourier.)

c) Il existe $h\in \mathscr{C}(\mathbf{R}/\mathbf{Z})$ tel que $C_h$ n’est pas de trace finie.

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