Bài tập 8, § 1

Nhóm $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ được trang bị độ đo Haar chuẩn hóa $\mu$. a) Cho $h\in \mathscr{L}^2(\mathbf{R}/\mathbf{Z})$. Với $f\in \mathscr{L}^2(\mathbf{R}/\mathbf{Z})$, định nghĩa một hàm $C_h(f)$ trên $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ bởi công thức

Ánh xạ $f\mapsto C_h(f)$ là một tự đồng cấu liên tục của $\mathscr{L}^2(\mathbf{R}/\mathbf{Z})$, và xác định, bằng cách chuyển qua các thương, một tự đồng cấu chuẩn compact của $L^2(\mathbf{R}/\mathbf{Z})$.

b) Xác định phổ của $C_h$ và bội số phổ của các phần tử của phổ này. (Khai triển $h$ thành một chuỗi Fourier.)

c) Tồn tại $h\in \mathscr{C}(\mathbf{R}/\mathbf{Z})$ sao cho $C_h$ không có vết hữu hạn.