Exercice 9, § 1

On note E l’espace hilbertien complexe $L^2([0,1])$ des fonctions de carré intégrable sur $[0,1]$ par rapport à la mesure de Lebesgue $\mu$.

Soit $u_0\in \mathscr{L}(E)$ l’endomorphisme de Volterra sur E, tel que

pour tout $f\in L^2([0,1])$ et presque tout $x\in [0,1]$.

a) L’endomorphisme $u_0$ est compact et Sp($u_0$) $=\{0\}$.

b) L’endomorphisme $u^*_0u_0$ est de trace finie ; calculer sa trace et en déduire la valeur de la série

$+\infty$

$\sum\frac{1}{n^2}$.

$n=1$

c) Soit $v_0$ l’endomorphisme de rang 1 de E défini par

où 1 désigne la classe de la fonction constante 1. Soit $u=u_0-v_0$. Montrer que $u$ est un opérateur de Hilbert–Schmidt, et calculer le noyau N tel que

pour $f\in E$ et presque tout $x\in [0,1]$.

d) Déterminer les valeurs propres de $u$ et leur multiplicité spectrale. (Calculer $u(e_n)$, où $e_n(t) =e^{2i\pi nt}$ pour tout $n\in \mathbf{Z}.$)

e) Calculer la trace de $u^*u$ et en déduire de nouveau la valeur de la série de terme général $1/n^2$ pour $n\geqslant 1$.

f) Généraliser ces arguments pour démontrer que, si $k\geqslant 1$ est un entier strictement positif, alors

$+\infty$

$\sum\frac{1}{n^{2k}}\in \pi^{2k}\mathbf{Q}^*$.

$n=1$