Bài tập 9, § 1

Ta ký hiệu E là không gian Hilbert phức $L^2([0,1])$ của các hàm khả tích bình phương trên $[0,1]$ đối với độ đo Lebesgue $\mu$.

Cho $u_0\in \mathscr{L}(E)$ là tự đồng cấu Volterra trên E, sao cho

với mọi $f\in L^2([0,1])$ và hầu khắp mọi $x\in [0,1]$.

a) Tự đồng cấu $u_0$ là compact và Sp($u_0$) $=\{0\}$.

b) Tự đồng cấu $u^*_0u_0$ có vết hữu hạn; tính vết của nó và suy ra giá trị của chuỗi

$+\infty$

$\sum\frac{1}{n^2}$.

$n=1$

c) Cho $v_0$ là tự đồng cấu hạng 1 của E được xác định bởi

trong đó 1 ký hiệu lớp của hàm hằng 1. Cho $u=u_0-v_0$. Bây giờ chứng minh rằng $u$ là một toán tử Hilbert–Schmidt, và tính hạt nhân N sao cho

với $f\in E$ và hầu khắp mọi $x\in [0,1]$.

d) Xác định các giá trị riêng của $u$ và bội số phổ của chúng. (Tính $u(e_n)$, trong đó $e_n(t) =e^{2i\pi nt}$ với mọi $n\in \mathbf{Z}.$)

e) Tính vết của $u^*u$ và suy ra một lần nữa giá trị của chuỗi có số hạng tổng quát $1/n^2$ với $n\geqslant 1$.

f) Tổng quát hóa các lập luận này để chứng minh rằng, nếu $k\geqslant 1$ là một số nguyên dương ngặt, thì

$+\infty$

$\sum\frac{1}{n^{2k}}\in \pi^{2k}\mathbf{Q}^*$.

$n=1$