Exercice 10, § 2

On dit qu’un endomorphisme continu $u$ de E est hyponormal si l’on a $u^*\circ u\geqslant u\circ u^*$, et qu’il est paranormal si $\|u^2(x)\|\|x\|\geqslant \|u(x)\|^2$ pour tout $x\in E$.

a) Si $u$ est paranormal, alors $u^n$ est paranormal pour tout $n\in \mathbf{N}$.

b) Si $u$ est paranormal et inversible, alors $u^{-1}$ est paranormal.

c) Un endomorphisme hyponormal est paranormal.

d) Soit $u$ un endomorphisme paranormal dont le spectre est contenu dans le cercle unité ; alors $u$ est unitaire. e) Si $u$ est un endomorphisme paranormal, sa norme $\|u\|$ est égale à son rayon spectral $\varrho (u)$.

f) On suppose que $u$ est paranormal.