Bài tập 10, § 2

Người ta nói rằng một tự đồng cấu liên tục $u$ của E là dưới chuẩn nếu có $u^*\circ u\geqslant u\circ u^*$, và nó là nửa chuẩn nếu $\|u^2(x)\|\|x\|\geqslant \|u(x)\|^2$ với mọi $x\in E$.

(a) Nếu $u$ là nửa chuẩn, thì $u^n$ là nửa chuẩn với mọi $n\in \mathbf{N}$.

(b) Nếu $u$ là nửa chuẩn và khả nghịch, thì $u^{-1}$ là nửa chuẩn.

(c) Một tự đồng cấu dưới chuẩn là nửa chuẩn.

(d) Cho $u$ là một tự đồng cấu nửa chuẩn có phổ được chứa trong đường tròn đơn vị; khi đó $u$ là unita. (e) Nếu $u$ là một tự đồng cấu nửa chuẩn, chuẩn $\|u\|$ của nó bằng bán kính phổ $\varrho (u)$ của nó.

(f) Giả sử rằng $u$ là nửa chuẩn.