Exercice 13, § 2

a) Soit A un ensemble infini de vecteurs unitaires de E qui converge faiblement vers 0 selon le filtre du complémentaire des parties finies. Démontrer qu’il existe une suite $(x_n)_{n\geqslant 1}$ à valeurs dans A et une suite orthonormale $(e_n)_{n\geqslant 1}$ dans E telle que $\|x_n-e_n\|\leqslant 1/n$ pour tout $n\geqslant 1$.

b) Soit $u$ un endomorphisme de E, non nécessairement continu. On suppose que pour toute suite orthonormale $(e_n)$ dans E, la suite $(u(e_n))$ converge faiblement vers 0. Démontrer que $u$ est continu et compact.

c) Soit $u$ un endomorphisme continu de E. Pour qu’il existe une base orthonormale $(e_n)$ de E telle que la suite $(u(e_n))$ converge faiblement vers 0, il faut et il suffit que pour tout endomorphisme $v$ de $E,v\circ u-1_E$ ne soit pas compact.