Bài tập 13, § 2

a) Cho A là một tập vô hạn các vectơ đơn vị của E hội tụ yếu đến 0 đối với bộ lọc các phần bù của các tập con hữu hạn. Chứng minh rằng tồn tại một dãy $(x_n)_{n\geqslant 1}$ nhận giá trị trong A và một dãy trực chuẩn $(e_n)_{n\geqslant 1}$ trong E sao cho $\|x_n-e_n\|\leqslant 1/n$ với mọi $n\geqslant 1$.

b) Cho $u$ là một tự đồng cấu của E, không nhất thiết liên tục. Giả sử rằng với mọi dãy trực chuẩn $(e_n)$ trong E, dãy $(u(e_n))$ hội tụ yếu đến 0. Chứng minh rằng $u$ là liên tục và compact.

c) Cho $u$ là một tự đồng cấu liên tục của E. Điều kiện cần và đủ để tồn tại một cơ sở trực chuẩn $(e_n)$ của E sao cho dãy $(u(e_n))$ hội tụ yếu đến 0 là với mọi tự đồng cấu $v$ của $E,v\circ u-1_E$ không compact.