Exercice 14, § 2

Soient X un espace localement compact, $\mu$ une mesure positive bornée sur X telle que $\mu(X) = 1$, et $f: X\rightarrow X$ une application $\mu$-mesurable telle que $f(\mu) =\mu$. On note $u_f$ l’endomorphisme unitaire de $L^2_{\mathbf{C}}(X, \mu)$ défini par $\varphi \mapsto f\circ \varphi ($cf. exercice 16 de I, p. 190). Pour tout $n\in \mathbf{N}$, on note $f^n=f^{\circ n}$ (application composée $n$ fois), et pour toute partie A de X, on note $f^{-n}(A) =\overset{-1}{g}(A)$ avec $g=f^n$.

On dit que $f$ est faiblement mélangeante relativement à $\mu$ si, pour toutes parties $\mu$-mesurables A et B de X, on a

1 $^N-_n$

lim $\sum|\mu(A\cap f(B)-\mu(A)\mu(B)|= 0$.

$n=0$

a) Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) L’application $f$ est faiblement mélangeante relativement à $\mu$;

(ii) Pour tous $\varphi_1$ et $\varphi_2\in L^2_{\mathbf{C}}(X, \mu)$, on a

1 $^Nn$

lim $\sum|\langle \varphi_1|u_f(\varphi_2)\rangle - \langle 1|\varphi_2\rangle \langle \varphi_1|1\rangle |= 0$;

$n=0$

(iii) L’application $f\times f: X\times X\rightarrow X\times X$ est $(\mu\otimes \mu$)-ergodique (cf. exercice 16 de I, p. 190) ;

(iv) L’espace propre relatif à la valeur propre 1 est de dimension 1 et, pour tout $\lambda \in \mathbf{C}-\{1\}$, l’espace propre de $u_f$ relatif à $\lambda$ est réduit à 0.

(Pour démontrer que (iii) implique (i), utiliser l’exercice 64 de II, p. 300.)

b) On considère l’exemple de la question e) de l’exercice 16 de I, p. 190. L’application $f$ est faiblement mélangeante relativement à $\mu$.

c) On considère l’exemple de la question f ) de l’exercice 16 de I, p. 190. L’application $f$ n’est pas faiblement mélangeante relativement à $\mu$.