Bài tập 14, § 2

Cho X là một không gian địa phương compact, $\mu$ là một độ đo dương bị chặn trên X sao cho $\mu(X) = 1$, và $f: X\rightarrow X$ là một ánh xạ $\mu$-đo được sao cho $f(\mu) =\mu$. Ký hiệu $u_f$ là tự đồng cấu unita của $L^2_{\mathbf{C}}(X, \mu)$ được xác định bởi $\varphi \mapsto f\circ \varphi ($xem Bài tập 16 của I, p. 190). Với mọi $n\in \mathbf{N}$, viết $f^n=f^{\circ n}$ (ánh xạ hợp thành n lần), và với mọi tập con A của X, viết $f^{-n}(A) =\overset{-1}{g}(A)$ với $g=f^n$.

Người ta nói rằng $f$ là trộn yếu đối với $\mu$ nếu, với mọi tập con $\mu$-đo được A và B của X, ta có

1 $^N-_n$

lim $\sum|\mu(A\cap f(B)-\mu(A)\mu(B)|= 0$.

$n=0$

a) Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(i) Ánh xạ $f$ là trộn yếu đối với $\mu$;

(ii) Với mọi $\varphi_1$ và $\varphi_2\in L^2_{\mathbf{C}}(X, \mu)$, ta có

1 $^Nn$

lim $\sum|\langle \varphi_1|u_f(\varphi_2)\rangle - \langle 1|\varphi_2\rangle \langle \varphi_1|1\rangle |= 0$;

$n=0$

(iii) Ánh xạ $f\times f: X\times X\rightarrow X\times X$ là ergodic đối với $(\mu\otimes \mu$) (xem Bài tập 16 của I, p. 190) ;

(iv) Không gian riêng tương ứng với trị riêng 1 có chiều bằng 1 và, với mọi $\lambda \in \mathbf{C}-\{1\}$, không gian riêng của $u_f$ tương ứng với $\lambda$ thu về 0.

(Để chứng minh rằng (iii) kéo theo (i), dùng Bài tập 64 của II, p. 300.)

b) Xét ví dụ của câu e) trong Bài tập 16 của I, p. 190. Chứng minh rằng ánh xạ $f$ là trộn yếu đối với $\mu$.

c) Xét ví dụ của câu f ) trong Bài tập 16 của I, p. 190. Chứng minh rằng ánh xạ $f$ không là trộn yếu đối với $\mu$.