Exercice 15, § 2

Soit $G = (S,F, o, t, \iota )$ un graphe (TA, II, p. 155, déf. 1). On suppose que G est connexe, que S est dénombrable et que S a au moins deux éléments. Pour tout $x\in S$, on note $v(x)$ le nombre d’arêtes de G dont $x$ est une extrémité ; on a $v(x)\geqslant 1$ pour tout $x\in S$, et on suppose que $v(x)$ est fini pour tout $x\in S$. Pour tous $x$ et $y$ dans S, on note $a(x, y)$ le nombre de flèches dans G d’extrémités $x$ et $y$. On suppose que $a(x, y)$ est fini pour tout $(x, y)\in S^2$.

On définit une mesure $\mu$ sur S par $\mu(\{x\}) =v(x)$ pour tout $x\in S$. La mesure $\mu$ est positive. On note $\mathscr{F}(G)$ l’espace vectoriel des fonctions sur S à valeurs complexes. On note $\widetilde{M}_G$ l’endomorphisme de $\mathscr{F}(G)$ tel que

$y$

pour tout $\varphi \in \mathscr{F}(G)$ et tout $x\in S$ (« opérateur de Markov »).

a) L’endomorphisme $\widetilde{M}_G$ définit par passage aux sous-espaces un endomorphisme $M_G$ de $L^2_{\mathbf{C}}(S, \mu)$.

b) L’endomorphisme $M_G$ est auto-adjoint. Il vérifie

$(x,y)\in S^2$ $\langle \varphi |1 + M_G(\varphi )\rangle =\frac{1}{2}\sum a(x, y)|\varphi (x) +\varphi (y)|^2$

$(x,y)\in S^2$ pour tout $\varphi \in L^2(S, \mu)$. De plus, on a $-1\leqslant M_G\leqslant 1$.

c) Soit $d\geqslant 1$ un entier et supposons que G est le graphe de Cayley de $\mathbf{Z}^d$ relatif à l’ensemble $\{e_i\}$, où $(e_i)$ est la base canonique de $\mathbf{Z}^d$ (TA, II, p. 221, exercice 7). Le rayon spectral $\varrho (M_G)$ de $M_G$ est égal à 1.

d) Soit $d\geqslant 3$ un entier. Supposons que G est un arbre (TA, II, p. 157) infini $d$-régulier, c’est-à-dire un arbre infini dans lequel tout sommet a $d$ voisins. Soit $x_0$ un sommet fixé de G. Pour tout $\lambda \in \mathbf{C}$, il existe une unique fonction $\varphi_{\lambda}: S\rightarrow \mathbf{C}$ telle que $\varphi_{\lambda}(x_0) = 1$ et $\widetilde{M}_G(\varphi_{\lambda}) =\lambda \varphi_{\lambda}$. De plus, pour tout $x\in S$, la valeur de $\varphi_{\lambda}$ en $x$ ne dépend que de la distance de $x$ à $x_0($cf. TA, II, p. 222, exercice 10).

ede Kesten »). En particulier, on a) Le spectre de $M_G$ est l’intervalle $[\varrho (M_G-) = 2$2 $d-\surd d1/d,-12/d.d-1/d]$ (« théorème