Bài tập 15, § 2

Cho $G = (S,F, o, t, \iota )$ là một đồ thị (TA, II, p. 155, déf. 1). Giả sử rằng G là liên thông, rằng S là đếm được và rằng S có ít nhất hai phần tử. Với mọi $x\in S$, ký hiệu $v(x)$ là số cạnh của G mà $x$ là một đầu mút; ta có $v(x)\geqslant 1$ với mọi $x\in S$, và giả sử rằng $v(x)$ là hữu hạn với mọi $x\in S$. Với mọi $x$ và $y$ trong S, ký hiệu $a(x, y)$ là số cung trong G có các đầu mút $x$ và $y$. Giả sử rằng $a(x, y)$ là hữu hạn với mọi $(x, y)\in S^2$.

Định nghĩa một độ đo $\mu$ trên S bởi $\mu(\{x\}) =v(x)$ với mọi $x\in S$. Độ đo $\mu$ là dương. Ký hiệu $\mathscr{F}(G)$ là không gian vectơ các hàm trên S có các giá trị phức. Ký hiệu $\widetilde{M}_G$ là tự đồng cấu của $\mathscr{F}(G)$ sao cho

$y$

với mọi $\varphi \in \mathscr{F}(G)$ và mọi $x\in S$ (“toán tử Markov”).

a) Tự đồng cấu $\widetilde{M}_G$ xác định, bằng cách chuyển qua các không gian con, một tự đồng cấu $M_G$ của $L^2_{\mathbf{C}}(S, \mu)$.

b) Tự đồng cấu $M_G$ là tự liên hợp. Nó thỏa mãn

$(x,y)\in S^2$

$(x,y)\in S^2$ với mọi $\varphi \in L^2(S, \mu)$. Hơn nữa, ta có $-1\leqslant M_G\leqslant 1$.

c) Cho $d\geqslant 1$ là một số nguyên và giả sử rằng G là đồ thị Cayley của $\mathbf{Z}^d$ đối với tập hợp $\{e_i\}$, trong đó $(e_i)$ là cơ sở chính tắc của $\mathbf{Z}^d$ (TA, II, p. 221, bài tập 7). Bán kính phổ $\varrho (M_G)$ của $M_G$ bằng 1.

d) Cho $d\geqslant 3$ là một số nguyên. Giả sử rằng G là một cây $d$-chính quy vô hạn (TA, II, p. 157), nghĩa là một cây vô hạn trong đó mỗi đỉnh có $d$ lân cận. Cho $x_0$ là một đỉnh cố định của G. Với mọi $\lambda \in \mathbf{C}$, tồn tại duy nhất một hàm $\varphi_{\lambda}: S\rightarrow \mathbf{C}$ sao cho $\varphi_{\lambda}(x_0) = 1$ và $\widetilde{M}_G(\varphi_{\lambda}) =\lambda \varphi_{\lambda}$. Hơn nữa, với mọi $x\in S$, giá trị của $\varphi_{\lambda}$ tại $x$ chỉ phụ thuộc vào khoảng cách từ $x$ đến $x_0($cf. TA, II, p. 222, bài tập 10).

ede Kesten »). Đặc biệt, ta có a) Phổ của $M_G$ là khoảng $[\varrho (M_G-) = 2$2 $d-\surd d1/d,-12/d.d-1/d]$ (“định lý