Exercice 17, § 2

a) Soit $n\in \mathbf{N}$. Soient E un espace hilbertien de dimension $n$ et $u\in \mathscr{L}(E)$. Soit $x\in E$ de norme 1 tel que $u(x) = 0$. Pour tout vecteur $y\in E$ de norme 1, on note $\Delta_u(y)$ le discriminant de la forme quadratique définie sur $y^{\circ}$ par $z\mapsto \langle z|u(z)\rangle$.

Pour tout $y\in$ E de norme 1, on a $|\langle x|y\rangle |^2\Delta_u(x) = \Delta_u(y)$. (Noter que $\Delta_u(y) =\langle a|\bigwedge u^{n-1}(a)\rangle /\langle a|a\rangle$ pour tout élément $a$ non nul de l’espace $\bigwedge^{n-1}y^{\circ}\subset \bigwedge^{n-1}E$, l’espace $\bigwedge^{n-1}E$ étant muni de sa structure hilbertienne canonique, cf. EVT, V, p. 33 ; vérifier alors séparément la formule lorsque $x$ est orthogonal à $y$ et lorsque $x=y.$)

b) Soit A une matrice de type $(n, n)$ à coefficients complexes telle que $^t\overline{A}=$ A. Pour tout entier $i$ tel que $1\leqslant i\leqslant n$, soit $A_i$ la matrice de type $(n-1, n-1)$ obtenue en enlevant la $i^e$ ligne et la $i^e$ colonne de A. Soit $(e_1, . . . , e_n)$ une base orthonormale de $\mathbf{C}^n$, muni de sa structure hilbertienne canonique, formée de vecteurs propres pour A, et soit $\lambda_i$ la valeur propre de $u$ relative à $e_i$. Écrivons $e_i= (e_{i,j})_{1\leqslant j\leqslant n}$.

Pour tous $(i, j)$, on a

$|e_{i,j}|^2\prod_{k\not=i}(\lambda_i-\lambda_k) =$ det($\lambda_i-A_j$).

(Se ramener au cas où $\lambda_i$ = 0, puis appliquer la question précédente à l’espace $\mathbf{C}^n$, à l’endomorphisme $u:y\mapsto Ay$ et au vecteur $x=e_i.$)