Bài tập 17, § 2

a) Cho $n\in \mathbf{N}$. Cho E là một không gian Hilbert có chiều $n$ và cho $u\in \mathscr{L}(E)$. Cho $x\in E$ có chuẩn 1 sao cho $u(x) = 0$. Với mọi vectơ $y\in E$ có chuẩn 1, ký hiệu $\Delta_u(y)$ là biệt thức của dạng toàn phương xác định trên $y^{\circ}$ bởi $z\mapsto \langle z|u(z)\rangle$.

Với mọi $y\in$ E có chuẩn 1, chứng minh rằng $|\langle x|y\rangle |^2\Delta_u(x) = \Delta_u(y)$. (Chú ý rằng $\Delta_u(y) =\langle a|\bigwedge u^{n-1}(a)\rangle /\langle a|a\rangle$ với mọi phần tử khác không $a$ của không gian $\bigwedge^{n-1}y^{\circ}\subset \bigwedge^{n-1}E$, không gian $\bigwedge^{n-1}E$ được trang bị cấu trúc Hilbert chính tắc của nó, cf. EVT, V, p. 33; sau đó kiểm tra công thức một cách riêng biệt khi $x$ trực giao với $y$ và khi $x=y.$)

b) Cho A là một ma trận kiểu $(n, n)$ với các hệ số phức sao cho $^t\overline{A}=$ A. Với mọi số nguyên $i$ sao cho $1\leqslant i\leqslant n$, cho $A_i$ là ma trận kiểu $(n-1, n-1)$ nhận được bằng cách xóa hàng $i^e$ và cột $i^e$ của A. Cho $(e_1, . . . , e_n)$ là một cơ sở trực chuẩn của $\mathbf{C}^n$, được trang bị cấu trúc Hilbert chính tắc của nó, gồm các vectơ riêng của A, và cho $\lambda_i$ là trị riêng của $u$ tương ứng với $e_i$. Viết $e_i= (e_{i,j})_{1\leqslant j\leqslant n}$.

Với mọi $(i, j)$, chứng minh rằng

$|e_{i,j}|^2\prod_{k\not=i}(\lambda_i-\lambda_k) =$ det($\lambda_i-A_j$).

(Rút gọn về trường hợp $\lambda_i$ = 0, sau đó áp dụng câu hỏi trước cho không gian $\mathbf{C}^n$, cho tự đồng cấu $u:y\mapsto Ay$ và cho vectơ $x=e_i.$)