Exercice 18, § 2

Soit X un espace compact métrisable et soit $\mu$ une mesure positive sur X. Notons $E = L^2_{\mathbf{C}}(X, \mu)$. Soit $(\mathscr{X}_n)_{n\in\mathbf{N}}$ une suite de partitions finies de X par des ensembles mesurables telle que $\mathscr{X}_{n+1}$ est plus fine que $\mathscr{X}_n$ pour tout $n\in \mathbf{N}$, et telle que le plus grand des diamètres d’une partie de $\mathscr{X}_n$ tend vers 0 quand $n\rightarrow +\infty$.

Soit $E_n\subset E$ l’espace des $f\in L^2(X, \mu)$ tel que $f$ est $\mu$-presque partout constante sur Y pour toute partie Y de $\mathscr{X}_n$. On pose $E_{-1}=\{0\}$. Pour tout $n\geqslant -1$, soit $p_n$ l’orthoprojecteur sur E d’image $E_n$.

a) La suite $(p_n)_{n\in\mathbf{N}}$ converge vers l’identité dans l’espace $\mathscr{L}_s(E)$ des endomorphismes de E muni de la topologie de la convergence simple. (Considérer d’abord la limite de $p_n(f)$ quand $f\in \mathscr{C}(X).$)

b) Pour tout $n\in \mathbf{N}$, l’endomorphisme $q_n=p_n-p_{n-1}$ est l’orthoprojecteur sur $F_n= E_n\cap E^{\circ}_{n-1}$, et les espaces $F_n$ sont deux à deux orthogonaux.

c) On a $\sum_nq_n= 1_E$ dans $\mathscr{L}_s$(E), et l’espace E est somme hilbertienne des espaces $F_n$.