Bài tập 18, § 2

Cho X là một không gian mêtric hóa compact và $\mu$ là một độ đo dương trên X. Ký hiệu $E = L^2_{\mathbf{C}}(X, \mu)$. Gọi $(\mathscr{X}_n)_{n\in\mathbf{N}}$ là một dãy các phân hoạch hữu hạn của X bởi các tập đo được sao cho $\mathscr{X}_{n+1}$ mịn hơn $\mathscr{X}_n$ với mọi $n\in \mathbf{N}$, và sao cho đường kính lớn nhất của một tập con của $\mathscr{X}_n$ tiến tới 0 khi $n\rightarrow +\infty$.

Gọi $E_n\subset E$ là không gian của các $f\in L^2(X, \mu)$ sao cho $f$ là hằng $\mu$-hầu khắp nơi trên Y với mọi tập con Y của $\mathscr{X}_n$. Đặt $E_{-1}=\{0\}$. Với mọi $n\geqslant -1$, gọi $p_n$ là phép chiếu trực giao trên E có ảnh là $E_n$.

a) Dãy $(p_n)_{n\in\mathbf{N}}$ hội tụ tới đồng nhất trong không gian $\mathscr{L}_s(E)$ các tự đồng cấu của E được trang bị tôpô hội tụ đơn giản. (Trước hết xét giới hạn của $p_n(f)$ khi $f\in \mathscr{C}(X)$.)

b) Với mọi $n\in \mathbf{N}$, tự đồng cấu $q_n=p_n-p_{n-1}$ là phép chiếu trực giao trên $F_n= E_n\cap E^{\circ}_{n-1}$, và các không gian $F_n$ trực giao từng đôi một.

c) Ta có $\sum_nq_n= 1_E$ trong $\mathscr{L}_s$(E), và không gian E là tổng Hilbert của các không gian $F_n$.