Exercice 19, § 2

Soient $X\subset \mathbf{R}$ une partie compacte de $\mathbf{R}$ et $\mu$ une mesure positive sur X, et soit $u$ l’endomorphisme de multiplication par la fonction identique de X.

On note $E = L^2(X, \mu)$ et on note $\mathscr{L}_s(E)$ l’espace des endomorphismes de E muni de la topologie de la convergence simple.

Soit $\varepsilon >0$. Soit $r >0$ tel que $X\subset ]-r, r[$, et soit $\ell \geqslant 1$ tel que $r2^{-\ell}< \varepsilon$. Pour tout entier $n\in \mathbf{N}$ et tous entier $j$ tel que $|j|\leqslant 2^{n+\ell}$, soit

a) Pour tout entier $n\in \mathbf{N}$, la famille $\mathscr{X}_n= (X_{n,j})_j$ est une partition finie de X ; les ensembles $X_{n,j}$ sont mesurables et de diamètre $\leqslant r2^{-n-\ell}$. Pour tout $n\in \mathbf{N}$, la partition $\mathscr{X}_{n+1}$ est plus fine que la partition $\mathscr{X}_n$. On peut donc appliquer à $(\mathscr{X}_n)$ les résultats de l’exercice précédent, dont on reprend les notations, en particulier les espaces $E_n$ et $F_n$ et les orthoprojecteurs $p_n$ et $q_n$. Les espaces $E_n$ sont de dimension finie.

b) La série

converge dans l’espace $\mathscr{L}_s(E)$; il existe une base orthonormale B de E telle que $v\in \mathscr{D}_B(E)$.

c) L’endomorphisme $w=v-u$ est compact. (Considérer les endomorphismes $u_n$ de multiplication par les fonctions $g_n\in E_n$ telles que, pour tous entier $j$ tel que $|j|\leqslant 2^{n+\ell}$, et pour tout $x\in X_{n,j}$, on a $g_n(x) =rj2^{-n-\ell}$; vérifier alors que $\|u-u_n\|\leqslant r2^{-n-\ell}$, et que $u_np_n=p_nu_n.$)