Bài tập 19, § 2

Cho $X\subset \mathbf{R}$ là một tập con compact của $\mathbf{R}$ và $\mu$ là một độ đo dương trên X, và cho $u$ là tự đồng cấu phép nhân bởi hàm đồng nhất của X.

Đặt $E = L^2(X, \mu)$ và ký hiệu bởi $\mathscr{L}_s(E)$ không gian các tự đồng cấu của E được trang bị tôpô hội tụ đơn giản.

Cho $\varepsilon >0$. Cho $r >0$ sao cho $X\subset ]-r, r[$, và cho $\ell \geqslant 1$ sao cho $r2^{-\ell}< \varepsilon$. Với mọi số nguyên $n\in \mathbf{N}$ và mọi số nguyên $j$ sao cho $|j|\leqslant 2^{n+\ell}$, đặt

a) Với mọi số nguyên $n\in \mathbf{N}$, họ $\mathscr{X}_n= (X_{n,j})_j$ là một phân hoạch hữu hạn của X; các tập hợp $X_{n,j}$ là đo được và có đường kính $\leqslant r2^{-n-\ell}$. Với mọi $n\in \mathbf{N}$, phân hoạch $\mathscr{X}_{n+1}$ mịn hơn phân hoạch $\mathscr{X}_n$. Do đó ta có thể áp dụng cho $(\mathscr{X}_n)$ các kết quả của bài tập trước, sử dụng lại các ký hiệu của nó, đặc biệt là các không gian $E_n$ và $F_n$ và các tự chiếu vuông góc $p_n$ và $q_n$. Các không gian $E_n$ là hữu hạn chiều.

b) Chuỗi

hội tụ trong không gian $\mathscr{L}_s(E)$; tồn tại một cơ sở trực chuẩn B của E sao cho $v\in \mathscr{D}_B(E)$.

c) Tự đồng cấu $w=v-u$ là compact. (Xét các tự đồng cấu $u_n$ của phép nhân bởi các hàm $g_n\in E_n$ sao cho, với mọi số nguyên $j$ sao cho $|j|\leqslant 2^{n+\ell}$, và với mọi $x\in X_{n,j}$, ta có $g_n(x) =rj2^{-n-\ell}$; sau đó kiểm tra rằng $\|u-u_n\|\leqslant r2^{-n-\ell}$, và rằng $u_np_n=p_nu_n.$)