Exercice 20, § 2

Soient E un espace hilbertien complexe de type dénombrable et $u\in \mathscr{L}(E)$ un endomorphisme hermitien. Soit $\varepsilon$ un nombre réel strictement positif. Il existe une base orthonormale B de E, un endomorphisme diagonal hermitien $v\in \mathscr{D}_B(E)$ et un endomorphisme compact $w\in \mathscr{L}^c(E)$ tels que $u=v+w$ et $\|w\|< \varepsilon$. (Considérer d’abord le cas où $u$ admet un vecteur cyclique, et appliquer alors l’exercice précédent.)