Bài tập 20, § 2

Cho E là một không gian Hilbert phức thuộc kiểu đếm được và $u\in \mathscr{L}(E)$ là một tự đồng cấu Hermit. Cho $\varepsilon$ là một số thực dương ngặt. Tồn tại một cơ sở trực chuẩn B của E, một tự đồng cấu Hermit đường chéo $v\in \mathscr{D}_B(E)$ và một tự đồng cấu compact $w\in \mathscr{L}^c(E)$ sao cho $u=v+w$ và $\|w\|< \varepsilon$. (Trước hết hãy xét trường hợp $u$ thừa nhận một vectơ cyclic, rồi áp dụng bài tập đứng trước.)