Exercice 24, § 2

Soit $A\subset \mathscr{L}(E)$ une sous-algèbre auto-adjointe unifère de $\mathscr{L}(E)$. On note $A''$ le bicommutant de A. On note $\mathscr{L}(E)_s$ l’espace $\mathscr{L}(E)$ muni de la topologie de la convergence simple.

a) L’espace $A''$ est une sous-algèbre auto-adjointe unifère de $\mathscr{L}(E)$ qui est fermée dans $\mathscr{L}(E)_s$.

b) Soient $v\in A''$ et $x\in E$. Le vecteur $v(x)$ appartient à l’adhérence dans E de l’ensemble des $u(x)$ pour $u\in A$. (Soit F cette adhérence ; observer que l’orthoprojecteur de E d’image F appartient à $A'.$)

c) L’algèbre $A''$ coïncide avec l’adhérence de A dans $\mathscr{L}(E)_s$. (Pour toute famille finie $(x_i)_{i\in I}$ d’éléments de E, appliquer la question précédente à l’espace $E^I$, à l’image $\widetilde{A}$ de A par le morphisme involutif unifère $f:\mathscr{L}(E)\rightarrow$ $\mathscr{L}(E^I)$ tel que $f(u)(y_i) = (u(y_i))_{i\in I}$, et à l’élément $(x_i)$ de $E^I.$)

L’égalité de $A''$ et de l’adhérence de A dans $\mathscr{L}(E)_s$ est le théorème du bicommutant de von Neumann.