Bài tập 24, § 2

Cho $A\subset \mathscr{L}(E)$ là một đại số con có đơn vị tự liên hợp của $\mathscr{L}(E)$. Ký hiệu $A''$ là đối giao hoán tử kép của A. Ký hiệu $\mathscr{L}(E)_s$ là không gian $\mathscr{L}(E)$ được trang bị tôpô hội tụ đơn.

a) Không gian $A''$ là một đại số con có đơn vị tự liên hợp của $\mathscr{L}(E)$ và đóng trong $\mathscr{L}(E)_s$.

b) Cho $v\in A''$ và $x\in E$. Vectơ $v(x)$ thuộc vào bao đóng trong E của tập hợp các $u(x)$ với $u\in A$. (Gọi F là bao đóng này; nhận thấy rằng phép chiếu trực giao của E có ảnh là F thuộc $A.'$)

c) Đại số $A''$ trùng với bao đóng của A trong $\mathscr{L}(E)_s$. (Với mọi họ hữu hạn $(x_i)_{i\in I}$ các phần tử của E, áp dụng câu hỏi trước cho không gian $E^I$, cho ảnh $\widetilde{A}$ của A dưới cấu xạ đối hợp có đơn vị $f:\mathscr{L}(E)\rightarrow$ $\mathscr{L}(E^I)$ sao cho $f(u)(y_i) = (u(y_i))_{i\in I}$, và cho phần tử $(x_i)$ của $E^I.$)

Đẳng thức của $A''$ và của bao đóng của A trong $\mathscr{L}(E)_s$ là định lý đối giao hoán tử kép của von Neumann.