Exercice 25, § 2

Soit U une partie ouverte de $\mathbf{R}$. Une fonction universellement mesurable $f: U\rightarrow \mathbf{R}$ est appelée une fonction de Loewner si, pour tout espace hilbertien complexe E et pour tous endomorphismes hermitiens $u$ et $v$ de E tel que Sp($u$)$\subset U$ et Sp($v$)$\subset U$, la condition $u\leqslant v$ dans $\mathscr{L}(E)$ implique $f(u)\leqslant f(v)$. On note Loe(U) l’ensemble des fonctions de Loewner sur U. a) Soit $f\in$ Loe(U). La fonction $f$ est croissante sur U. La fonction constante 1 et la fonction identité de U appartiennent à Loe(U).

b) Soit $f\in$ Loe($\mathbf{R}^*_+$). Soient E un espace hilbertien complexe et $u$ un endomorphisme positif de E. Pour tout orthoprojecteur $p$ de E et pour tout $\varepsilon >0$, on a $f(u)_p\leqslant f((1 +\varepsilon )u_p)$, où on note $v_p$ l’endomorphisme de Im($p$) défini par $x\mapsto p(v(x))$ pour tout $v\in \mathscr{L}(E)$. (Identifier E à la somme directe hilbertienne Im($p$)$\oplus$ Im(1$_E-p$) et représenter $u$ comme une matrice $(a b)((1 +\varepsilon )a$ 0 )

; noter que $u\leqslant -_1$ pour tout $\varepsilon >0.)$

$c d$ 0 $(1 +\varepsilon )d$

c) Soit $f\in$ Loe($\mathbf{R}^*_+$). La fonction $f$ est concave dans $\mathbf{R}_+^*$. (Soit $v$ un endomorphisme de $\mathbf{C}^2$ diagonal dans la base canonique et soit $g\in \mathbf{S}\mathbf{O}(\mathbf{R}^2)$ vu comme endomorphisme de $\mathbf{C}^2$; appliquer la question précédente à l’orthoprojecteur d’image $\mathbf{C}e_1$ et à $u=g^*vg.$)

d) L’ensemble Loe($\mathbf{R}$) est l’ensemble des fonctions de la forme $f(x) =ax+b$ où $(a, b)\in \mathbf{R}_+\times \mathbf{R}$. (Appliquer la question précédente à $f$ ainsi qu’à la fonction $x\mapsto -f(-x).$)

e) Soit $t\in \mathbf{R}_+^*$. La fonction $f:x\mapsto -(t+x)^{-1}$ appartient à Loe($\mathbf{R}_+^*$).

f ) Pour toute mesure positive bornée $\nu$ sur $\mathbf{R}^*_+$ telle que la fonction $x\mapsto x^{-1}$ est $\nu$-intégrable, la fonction $f:\mathbf{R}^*_+\rightarrow \mathbf{R}$ définie par

appartient à Loe($\mathbf{R}_+^*$); elle est dérivable dans $\mathbf{R}_+^*$ et vérifie de plus les conditions suivantes :

(i) lim$_{t\rightarrow 0}f(t) = 0$;

(ii) lim$_{t\rightarrow 0}f'(t)$ existe dans $\mathbf{R}$;

(iii) $f$ admet une limite finie en $+\infty$.