Bài tập 25, § 2

Cho U là một tập con mở của $\mathbf{R}$. Một hàm đo được phổ quát $f: U\rightarrow \mathbf{R}$ được gọi là một hàm Loewner nếu, với mọi không gian Hilbert phức E và với mọi tự đồng cấu Hermit $u$ và $v$ của E sao cho Sp($u$)$\subset U$ và Sp($v$)$\subset U$, điều kiện $u\leqslant v$ trong $\mathscr{L}(E)$ kéo theo $f(u)\leqslant f(v)$. Ta ký hiệu Loe(U) là tập hợp các hàm Loewner trên U. a) Cho $f\in$ Loe(U). Hàm $f$ là tăng trên U. Hàm hằng 1 và ánh xạ đồng nhất của U thuộc Loe(U).

b) Cho $f\in$ Loe($\mathbf{R}^*_+$). Cho E là một không gian Hilbert phức và $u$ là một tự đồng cấu dương của E. Với mọi phép chiếu trực giao $p$ của E và mọi $\varepsilon >0$, ta có $f(u)_p\leqslant f((1 +\varepsilon )u_p)$, trong đó $v_p$ là tự đồng cấu của Im($p$) được xác định bởi $x\mapsto p(v(x))$ với mọi $v\in \mathscr{L}(E)$. (Đồng nhất E với tổng trực tiếp Hilbert Im($p$)$\oplus$ Im(1$_E-p$) và biểu diễn $u$ như một ma trận $(a b)((1 +\varepsilon )a$ 0 )

; chú ý rằng $u\leqslant -_1$ với mọi $\varepsilon >0.)$

$c d$ 0 $(1 +\varepsilon )d$

c) Cho $f\in$ Loe($\mathbf{R}^*_+$). Hàm $f$ là lõm trên $\mathbf{R}_+^*$. (Cho $v$ là một tự đồng cấu của $\mathbf{C}^2$ đường chéo trong cơ sở chính tắc và cho $g\in \mathbf{S}\mathbf{O}(\mathbf{R}^2)$ được xem như một tự đồng cấu của $\mathbf{C}^2$; áp dụng câu hỏi trước cho phép chiếu trực giao có ảnh là $\mathbf{C}e_1$ và cho $u=g^*vg.$)

d) Tập hợp Loe($\mathbf{R}$) là tập hợp các hàm có dạng $f(x) =ax+b$ trong đó $(a, b)\in \mathbf{R}_+\times \mathbf{R}$. (Áp dụng câu hỏi trước cho $f$ và cả cho hàm $x\mapsto -f(-x).$)

e) Cho $t\in \mathbf{R}_+^*$. Hàm $f:x\mapsto -(t+x)^{-1}$ thuộc Loe($\mathbf{R}_+^*$).

f ) Với mọi độ đo dương bị chặn $\nu$ trên $\mathbf{R}^*_+$ sao cho hàm $x\mapsto x^{-1}$ là $\nu$-khả tích, hàm $f:\mathbf{R}^*_+\rightarrow \mathbf{R}$ được xác định bởi

thuộc Loe($\mathbf{R}_+^*$); nó khả vi trên $\mathbf{R}_+^*$ và hơn nữa thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) lim$_{t\rightarrow 0}f(t) = 0$;

(ii) lim$_{t\rightarrow 0}f'(t)$ tồn tại trong $\mathbf{R}$;

(iii) $f$ có một giới hạn hữu hạn tại $+\infty$.