Exercice 26, § 2

Soient E un espace hilbertien complexe et $a$ un endomorphisme positif de E. On note $\|x\|_a=\langle x|a(x)\rangle$; c’est une semi-norme sur E. On note encore $\|u\|_a$ la semi-norme d’un endomorphisme $u$ de l’espace E muni de cette semi-norme.

On appelle fonction d’interpolation toute fonction $f:\mathbf{R}_+^*\rightarrow \mathbf{R}^*_+$ telle que, pour tout espace hilbertien complexe E, tout endomorphisme positif $a$ de E et tout $u\in \mathscr{L}$ (E), les conditions $\|u\|\leqslant 1$ et $\|u\|_a\leqslant 1$ impliquent que $\|f(u)\|_a\leqslant 1$.

a) Une fonction $f:\mathbf{R}^*_+\rightarrow \mathbf{R}_+^*$ est une fonction d’interpolation si et seulement si, pour tout espace hilbertien complexe E, tout endomorphisme positif $a$ de E et tout $u\in \mathscr{L}$ (E), les conditions $u^*u\leqslant 1_E$ et $u^*au\leqslant a$ impliquent $u^*f(a)u\leqslant f(a)$

b) Toute fonction de Loewner sur $\mathbf{R}^*_+$ est une fonction d’interpolation.

(Étant donnés E et $u\in \mathscr{L}(E)$ de norme $\leqslant 1$, poser $w=\overline{1_E -u^*u}$ et $w'=$ $\surd$

$\overline{1_E -uu^*}$; considérer $F = E\oplus E$ et noter que l’endomorphisme $v$ de F défini par $v(x, y) = (u(x) +w'(y),-w(x) +u(y))$ est une isométrie ; considérer alors $a': (x, y)\mapsto (a(x),0)$ et appliquer la question b) de l’exercice précédent à l’orthoprojecteur d’image $E\oplus \{0\}.)$

c) Toute fonction d’interpolation est une fonction de Loewner sur $\mathbf{R}_+^*$. (Soient $0\leqslant u\leqslant v$ des endomorphismes d’un espace hilbertien complexe E avec $v$ inversible ; poser $F = E\oplus E$, et considérer l’endomorphisme $a=u\oplus v$

$($ 0 $1_E)$ de F ainsi que l’endomorphisme $w$ représenté par la matrice $_{-1/21/2}$ ;

$vu$ 0

montrer que $w^*w\leqslant 1_F$ et $w^*aw\leqslant a.)$

d) Soit $f$ une fonction d’interpolation. Soit E un espace hilbertien complexe ; on note $\mathscr{R}(u) =\frac{1}{2}(u+u^*)$ pour tout $u\in \mathscr{L}(E)$. Pour $u$ et $v$ dans $\mathscr{L}$ (E), démontrer que $e^{-tv^*}\circ u\circ e^{-tv}\leqslant u$ pour tout $t\in \mathbf{R}_+$ si et seulement si $\mathscr{R}(u\circ v)\geqslant 0$. (Pour $x\in E$ donné, calculer la dérivée de la fonction $t\mapsto \langle e^{-tv}x|(ue^{-tv})x\rangle .$)

En déduire que pour tous endomorphismes $u$ et $v$ de E tels que les conditions

sont satisfaites, on a $\mathscr{R}(f(u)v)\geqslant 0$.