Bài tập 26, § 2

Cho E là một không gian Hilbert phức và $a$ là một tự đồng cấu dương của E. Ta viết $\|x\|_a=\langle x|a(x)\rangle$; đó là một nửa chuẩn trên E. Ta cũng viết $\|u\|_a$ cho nửa chuẩn của một tự đồng cấu $u$ của không gian E được trang bị nửa chuẩn này.

Một hàm nội suy là mọi hàm $f:\mathbf{R}_+^*\rightarrow \mathbf{R}^*_+$ sao cho, với mọi không gian Hilbert phức E, mọi tự đồng cấu dương $a$ của E và mọi $u\in \mathscr{L}$ (E), các điều kiện $\|u\|\leqslant 1$ và $\|u\|_a\leqslant 1$ kéo theo $\|f(u)\|_a\leqslant 1$.

a) Chứng minh rằng một hàm $f:\mathbf{R}^*_+\rightarrow \mathbf{R}_+^*$ là một hàm nội suy khi và chỉ khi, với mọi không gian Hilbert phức E, mọi tự đồng cấu dương $a$ của E và mọi $u\in \mathscr{L}$ (E), các điều kiện $u^*u\leqslant 1_E$ và $u^*au\leqslant a$ kéo theo $u^*f(a)u\leqslant f(a)$

b) Chứng minh rằng mọi hàm Loewner trên $\mathbf{R}^*_+$ đều là một hàm nội suy.

(Cho E và $u\in \mathscr{L}(E)$ có chuẩn $\leqslant 1$, đặt $w=\overline{1_E -u^*u}$ và $w'=$ $\surd$

$\overline{1_E -uu^*}$; xét $F = E\oplus E$ và chú ý rằng tự đồng cấu $v$ của F được xác định bởi $v(x, y) = (u(x) +w'(y),-w(x) +u(y))$ là một đẳng cự; rồi xét $a': (x, y)\mapsto (a(x),0)$ và áp dụng phần b) của bài tập trước cho phép chiếu trực giao có ảnh $E\oplus \{0\}.)$

c) Chứng minh rằng mọi hàm nội suy đều là một hàm Loewner trên $\mathbf{R}_+^*$. (Cho $0\leqslant u\leqslant v$ là các tự đồng cấu của một không gian Hilbert phức E với $v$ khả nghịch; đặt $F = E\oplus E$, và xét tự đồng cấu $a=u\oplus v$

$($ 0 $1_E)$ của F, cũng như tự đồng cấu $w$ được biểu diễn bởi ma trận $_{-1/21/2}$ ;

$vu$ 0

chứng minh rằng $w^*w\leqslant 1_F$ và $w^*aw\leqslant a.)$

d) Cho $f$ là một hàm nội suy. Cho E là một không gian Hilbert phức; ta viết $\mathscr{R}(u) =\frac{1}{2}(u+u^*)$ với mọi $u\in \mathscr{L}(E)$. Với $u$ và $v$ trong $\mathscr{L}$ (E), chứng minh rằng $e^{-tv^*}\circ u\circ e^{-tv}\leqslant u$ với mọi $t\in \mathbf{R}_+$ khi và chỉ khi $\mathscr{R}(u\circ v)\geqslant 0$. (Với $x\in E$ cho trước, tính đạo hàm của hàm $t\mapsto \langle e^{-tv}x|(ue^{-tv})x\rangle .$)

Suy ra rằng với mọi tự đồng cấu $u$ và $v$ của E sao cho các điều kiện

được thỏa mãn, ta có $\mathscr{R}(f(u)v)\geqslant 0$.