Exercice 27, § 2

On se propose de démontrer la réciproque de l’assertion de la question b) de l’exercice 25. On utilisera pour cela les résultats et les notations de l’exercice 23 de V, p. 503 ci-dessous. En particulier, G désigne le groupe $\mathbf{R}^*_+$ muni de la mesure de Haar $\mu=x^{-1}dx$, en dualité avec le groupe $i\mathbf{R}$ par l’application $(x, it)\mapsto x^{it}$. On note X l’application identique de G.

On note co (resp. si, resp. ta) la fonction $it\mapsto$ cos($i\pi t$) (resp. la fonction $it\mapsto$ sin($i\pi t$), la fonction $it\mapsto$ tan($i\pi t$)) sur $i\mathbf{R}$.

Soit $f\in$ Loe(G) vérifiant les conditions (i), (ii) et (iii) de la question f ) de l’exercice 25.

a) Soit $\alpha$ la fonction $x\mapsto x/(1 +x)$ sur G. On a $I_{\alpha}= ]-1,0[$ et $\widehat{\alpha}(s) =$ $-\pi /$ sin($\pi s$) pour $s\in B_f$.

b) La fonction ta est bornée sur $i\mathbf{R}$. On note $v=\mathscr{F}\circ m_{ta}\circ \overline{\mathscr{F}}$; c’est un endomorphisme de $L^2(G)$ tel que $\|v\|\leqslant 1$ et $\mathscr{R}(v) = 0$.

c) Soit $\varepsilon >0$ un nombre réel. On note $u_{\varepsilon}$ l’endomorphisme de multiplication par $h_{\varepsilon}= X/(1 +\varepsilon X)$ sur $L^2(G)$. On a $u_{\varepsilon}\geqslant 0$ et pour tout $\varphi \in L^2(G)$ et toute fonction continue bornée $f$ sur G, on a

1

2

où $Q(\varphi ) =\varphi v(\varphi ) +\overline{v(\varphi)}\varphi$.

d) Soit F le sous-espace vectoriel de $L^2(i\mathbf{R})$ engendré par les fonctions $t\mapsto e^{\alpha(it-s_0)^2}$ où $\alpha \in \mathbf{R}_+^*$ et $s_0\in \mathbf{C}$; il est dense dans $L^2(i\mathbf{R})$. e) Soit $\psi \in F$. Il existe $\varphi \in L^2(G)$ tel que $\widehat{\varphi}=$ co $\cdot \psi$. Soit $g= Q(\varphi )$. On a $g\in L^1$(G), et il existe une fonction holomorphe sur $\mathbf{C}$ dont la restriction à $i\mathbf{R}$ coïncide avec $\widehat{g}$. De plus

$\widehat{g}=\frac{1}{2i\pi}(\psi^**\psi )$ si.

f) Pour tout $\varepsilon >0$, on a $\mathscr{R}(u_{\varepsilon}\circ v)\geqslant 0$. (Calculer $\langle \varphi |\mathscr{R}(u_{\varepsilon}u)\varphi \rangle$ lorsque $\varphi$ est une fonction comme dans la question précédente, et utiliser la convolution sur G comme dans la question d) de l’exercice 23 de V, p. 503.)

g) Soit $f\in$ Loe($\mathbf{R}^*_+$). Soit $g$ une fonction associée à $\psi \in F$ comme dans la question e). On a alors

et

$\int_{\mathbf{R}}\widehat{f}(-\sigma -it)$ sin($\pi (\sigma +it)$)$(\psi^**\psi )(\sigma +it)dt\geqslant 0$

pour tout $\sigma \in ]0,1[$.

h) Soit $\sigma \in ]0,1[$. La fonction $q$ définie par $q(s) =\widehat{f}(-s)$ sin($\pi s$) pour $s$ tel que $\mathscr{R}(s) =\sigma$ vérifie

$nn$ $\sum\sum\overline{t}_it_jq(\frac{1}{2}(\overline{z}_i+z_j))\geqslant 0$ $i=0j=0$

pour tout $n\in \mathbf{N}$ et toutes familles $(t_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ et $(z_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ de nombres complexes tels que $\mathscr{R}(z_i) =\sigma$ pour tout $i$.

i) Il existe une mesure positive $\nu_0$ sur G telle que $\widehat{\nu}_0(it) =\widehat{f}(-it)$ sin($i\pi t$)$/\pi$ pour tout $t\in \mathbf{R}$; on a $X^{\sigma}\in L^1(G, \nu_0)$ si $0< \sigma <1$.

j) Soit $\nu =\check{\nu}^0$. La mesure $\nu$ est bornée. (Vérifier que$]-1,0[\subset I_{\nu}$ puis que $\widehat{\nu}(-t)$ est borné quand $t\rightarrow 0$ pour démontrer que $\nu ([1,+\infty [)$ est fini.) Pour tout $x$, on a