Bài tập 27, § 2

Đối tượng là chứng minh đảo lại của mệnh đề trong câu hỏi b) của bài tập 25. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng các kết quả và các ký hiệu của bài tập 23 của V, p. 503 dưới đây. Đặc biệt, G ký hiệu nhóm $\mathbf{R}^*_+$ được trang bị độ đo Haar $\mu=x^{-1}dx$, đối ngẫu với nhóm $i\mathbf{R}$ bởi ánh xạ $(x, it)\mapsto x^{it}$. Ký hiệu X là ánh xạ đồng nhất của G.

Ký hiệu co (tương ứng si, tương ứng ta) là hàm $it\mapsto$ cos($i\pi t$) (tương ứng hàm $it\mapsto$ sin($i\pi t$), hàm $it\mapsto$ tan($i\pi t$)) trên $i\mathbf{R}$.

Cho $f\in$ Loe(G) thỏa mãn các điều kiện (i), (ii) và (iii) của câu hỏi f ) của bài tập 25.

a) Cho $\alpha$ là hàm $x\mapsto x/(1 +x)$ trên G. Ta có $I_{\alpha}= ]-1,0[$ và $\widehat{\alpha}(s) =$ $-\pi /$ sin($\pi s$) với $s\in B_f$.

b) Hàm ta bị chặn trên $i\mathbf{R}$. Ký hiệu $v=\mathscr{F}\circ m_{ta}\circ \overline{\mathscr{F}}$; đây là một tự đồng cấu của $L^2(G)$ sao cho $\|v\|\leqslant 1$ và $\mathscr{R}(v) = 0$.

c) Cho $\varepsilon >0$ là một số thực. Ký hiệu $u_{\varepsilon}$ là tự đồng cấu phép nhân bởi $h_{\varepsilon}= X/(1 +\varepsilon X)$ trên $L^2(G)$. Ta có $u_{\varepsilon}\geqslant 0$ và với mọi $\varphi \in L^2(G)$ và mọi hàm liên tục bị chặn $f$ trên G, ta có

1

2

trong đó $Q(\varphi ) =\varphi v(\varphi ) +\overline{v(\varphi)}\varphi$.

d) Cho F là không gian con vectơ của $L^2(i\mathbf{R})$ sinh bởi các hàm $t\mapsto e^{\alpha(it-s_0)^2}$ với $\alpha \in \mathbf{R}_+^*$ và $s_0\in \mathbf{C}$; nó trù mật trong $L^2(i\mathbf{R})$. e) Cho $\psi \in F$. Tồn tại $\varphi \in L^2(G)$ sao cho $\widehat{\varphi}=$ co $\cdot \psi$. Đặt $g= Q(\varphi )$. Ta có $g\in L^1$(G), và tồn tại một hàm chỉnh hình trên $\mathbf{C}$ mà hạn chế của nó trên $i\mathbf{R}$ trùng với $\widehat{g}$. Hơn nữa

$\widehat{g}=\frac{1}{2i\pi}(\psi^**\psi )$ si.

f) Với mọi $\varepsilon >0$, ta có $\mathscr{R}(u_{\varepsilon}\circ v)\geqslant 0$. (Tính $\langle \varphi |\mathscr{R}(u_{\varepsilon}u)\varphi \rangle$ khi $\varphi$ là một hàm như trong câu hỏi trước, và sử dụng phép tích chập trên G như trong câu hỏi d) của bài tập 23 của V, p. 503.)

g) Cho $f\in$ Loe($\mathbf{R}^*_+$). Cho $g$ là một hàm liên kết với $\psi \in F$ như trong câu hỏi e). Khi đó ta có

và

$\int_{\mathbf{R}}\widehat{f}(-\sigma -it)$ sin($\pi (\sigma +it)$)$(\psi^**\psi )(\sigma +it)dt\geqslant 0$

với mọi $\sigma \in ]0,1[$.

h) Cho $\sigma \in ]0,1[$. Hàm $q$ được xác định bởi $q(s) =\widehat{f}(-s)$ sin($\pi s$) đối với $s$ sao cho $\mathscr{R}(s) =\sigma$ thỏa mãn

$nn$ $\sum\sum\overline{t}_it_jq(\frac{1}{2}(\overline{z}_i+z_j))\geqslant 0$ $i=0j=0$

với mọi $n\in \mathbf{N}$ và mọi họ $(t_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ và $(z_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ các số phức sao cho $\mathscr{R}(z_i) =\sigma$ với mọi $i$.

i) Tồn tại một độ đo dương $\nu_0$ trên G sao cho $\widehat{\nu}_0(it) =\widehat{f}(-it)$ sin($i\pi t$)$/\pi$ với mọi $t\in \mathbf{R}$; ta có $X^{\sigma}\in L^1(G, \nu_0)$ nếu $0< \sigma <1$.

j) Cho $\nu =\check{\nu}^0$. Độ đo $\nu$ bị chặn. (Kiểm tra rằng $]-1,0[\subset I_{\nu}$ rồi sau đó rằng $\widehat{\nu}(-t)$ bị chặn khi $t\rightarrow 0$ để chứng minh rằng $\nu ([1,+\infty [)$ là hữu hạn.) Với mọi $x$, ta có