Exercice 28, § 2

a) Soit $D\subset \mathbf{C}$ le disque unité ouvert. Soit $f$ un germe de fonction holomorphe au voisinage de D. Pour tout $z\in D$, on a

où $k(z, w) = (z+w)/(z-w)$ pour $(z, w)\in D\times D$. (Noter que

et utiliser le développement de Taylor de $f$ autour de 0.) b) Soit $f$ une fonction holomorphe sur D telle que $\mathscr{R}(f(z))>0$ pour tout $z\in D$. Les mesures $\mu_r=\frac{1}{2\pi}\mathscr{R}(f(re^{i\theta}))d\theta$ sur $[0,2\pi ]$ convergent vaguement quand $r\rightarrow 1$ vers une mesure positive bornée $\nu$, et on a

pour tout $z\in D$. (Se ramener au cas où $f(0) = 1$ et observer que les mesures $\mu_r$ sont alors des mesures positives de masse totale 1.)

c) Soit $\mathbf{H}$ l’ouvert de $\mathbf{C}$ formé des $z\in \mathbf{C}$ tels que $\mathscr{I}(z)>0$. Soit $f:\mathbf{H}\rightarrow \mathbf{C}$ une fonction holomorphe. L’image de $f$ est contenue dans $\mathbf{H}$ si et seulement si il existe une mesure positive bornée $\nu$ sur $\mathbf{R}$ et un nombre réel $a\geqslant 0$ tels que

pour tout $z\in \mathbf{H}$.

d) Soit I un intervalle ouvert non vide dans $\mathbf{R}$ et soit $f: I\rightarrow \mathbf{R}$. Notons J = $\mathbf{R}-$ I. Les conditions suivantes sont équivalentes (« théorème de Loewner ») :

(i) La fonction $f$ appartient à Loe(I) ;

(ii) Il existe une fonction analytique $\widetilde{f}$ sur $(\mathbf{C}-\mathbf{R})\cup I$ dont la restriction à I coïncide avec $f$ et qui vérifie $\mathscr{I}(f(z))>0$ si $\mathscr{I}(z)>0$;

(iii) Il existe une mesure bornée $\nu$ sur J et $(a, b)\in \mathbf{R}_+\times \mathbf{R}$ tels que

pour tout $x\in I$.

(Vérifier d’abord directement que (iii) implique (i) et (ii) ; pour démontrer que (i) implique (iii), traiter séparément le cas où $I =\mathbf{R}$ et ramener les autres cas à celui où $I =\mathbf{R}^*_+$, pour lequel on appliquera l’exercice précédent ; enfin, pour démontrer que (ii) implique (iii), appliquer la question c) et vérifier que la mesure $\nu$ sur $\mathbf{R}$ donnée par celle-ci est supportée sur J.)