Bài tập 28, § 2

a) Cho $D\subset \mathbf{C}$ là đĩa đơn vị mở. Cho $f$ là mầm của một hàm chỉnh hình trong một lân cận của D. Với mọi $z\in D$, ta có

trong đó $k(z, w) = (z+w)/(z-w)$ với $(z, w)\in D\times D$. (Chú ý rằng

và sử dụng khai triển Taylor của $f$ tại 0.) b) Cho $f$ là một hàm chỉnh hình trên D sao cho $\mathscr{R}(f(z))>0$ với mọi $z\in D$. Các độ đo $\mu_r=\frac{1}{2\pi}\mathscr{R}(f(re^{i\theta}))d\theta$ trên $[0,2\pi ]$ hội tụ mơ hồ khi $r\rightarrow 1$ tới một độ đo dương bị chặn $\nu$, và ta có

với mọi $z\in D$. (Rút gọn về trường hợp $f(0) = 1$ và chú ý rằng khi đó các độ đo $\mu_r$ là những độ đo dương có tổng khối lượng bằng 1.)

c) Cho $\mathbf{H}$ là tập mở của $\mathbf{C}$ gồm các $z\in \mathbf{C}$ sao cho $\mathscr{I}(z)>0$. Cho $f:\mathbf{H}\rightarrow \mathbf{C}$ là một hàm chỉnh hình. Ảnh của $f$ được chứa trong $\mathbf{H}$ khi và chỉ khi tồn tại một độ đo dương bị chặn $\nu$ trên $\mathbf{R}$ và một số thực $a\geqslant 0$ sao cho

với mọi $z\in \mathbf{H}$.

d) Cho I là một khoảng mở khác rỗng trong $\mathbf{R}$ và cho $f: I\rightarrow \mathbf{R}$. Đặt J = $\mathbf{R}-$ I. Các điều kiện sau là tương đương ("định lý Loewner"):

(i) Hàm $f$ thuộc Loe(I) ;

(ii) Tồn tại một hàm giải tích $\widetilde{f}$ trên $(\mathbf{C}-\mathbf{R})\cup I$ mà hạn chế của nó trên I trùng với $f$ và thỏa mãn $\mathscr{I}(f(z))>0$ nếu $\mathscr{I}(z)>0$;

(iii) Tồn tại một độ đo bị chặn $\nu$ trên J và $(a, b)\in \mathbf{R}_+\times \mathbf{R}$ sao cho

với mọi $x\in I$.

(Trước hết hãy kiểm tra trực tiếp rằng (iii) suy ra (i) và (ii) ; để chứng minh rằng (i) suy ra (iii), hãy xét riêng trường hợp $I =\mathbf{R}$ và rút gọn các trường hợp khác về trường hợp $I =\mathbf{R}^*_+$, mà bài tập trước sẽ được áp dụng cho nó ; sau cùng, để chứng minh rằng (ii) suy ra (iii), hãy áp dụng câu hỏi c) và kiểm tra rằng độ đo $\nu$ trên $\mathbf{R}$ thu được như vậy có giá được chứa trong J.)