Exercice 5, § 2

Soit $u\in \mathscr{L}(E)$ tel que $\|u\|\leqslant 1$. Pour tout $\lambda \in \mathbf{C}$, soit $p_{\lambda}$ l’orthoprojecteur de E sur l’espace propre de $u$ correspondant à $\lambda$. Pour tous $x$ et $y$ dans E, on a

1 N $n$ 2 2 2

lim $\sum|\langle x|u(y)\rangle |=\sum|\langle p_{\lambda}(y)|p_{\lambda}(x)\rangle |=\sum|\langle y|p_{\lambda}(x)\rangle |$

$n=1\lambda \in \mathbf{C}\lambda \in \mathbf{C}$

(on pourra utiliser l’exercice 64 de II, p. 300).