Exercice 7, § 2

Soient $u$ et $v$ des endomorphismes continus de E.

a) Démontrer que Im($u$) $+$ Im($v$) $=$ Im(($u\circ u^*+v\circ v^*$)$^{1/2}$).

b) Si $u$ est positif et d’image fermée, démontrer que Im($u$) $=$ Im($u^{1/2}$).

c) Si $u, v$ sont positifs d’image fermée et si $u+v$ est également d’image fermée, on a Im($u+v$) $=$ Im($u$) $+$ Im($v$).