Exercice 8, § 2

Soit F un espace hilbertien complexe et soit $u: E\rightarrow F$ une application linéaire continue d’image fermée.

a) Démontrer qu’il existe une unique application linéaire continue $v\in$ $\mathscr{L}(F; E)$ vérifiant les conditions suivantes :

(i) $u\circ v\circ u=u$ et $v\circ u\circ v=v$;

(ii) $u\circ v$ et $v\circ u$ sont auto-adjoints.

On note $u^{\dagger}$ cette application (pseudo-inverse de Moore-Penrose).

b) Démontrer que Im($u$) $=$ Im($u\circ u^{\dagger}$). Démontrer que pour $x\in E$ et $y\in$ Im($u$), les conditions $u(x) =y$ et $x-u^{\dagger}(y)\in$ Im(1$_E-u^{\dagger}\circ u$) sont équivalentes.