Bài tập 8, § 2

Cho $F$ là một không gian Hilbert phức và cho $u: E\rightarrow F$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục có ảnh đóng.

a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục $v\in$ $\mathscr{L}(F; E)$ thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) $u\circ v\circ u=u$ và $v\circ u\circ v=v$;

(ii) $u\circ v$ và $v\circ u$ là tự liên hợp.

Ánh xạ này được ký hiệu bởi $u^{\dagger}$ (nghịch đảo giả Moore-Penrose).

b) Chứng minh rằng Im($u$) $=$ Im($u\circ u^{\dagger}$). Chứng minh rằng đối với $x\in E$ và $y\in$ Im($u$), các điều kiện $u(x) =y$ và $x-u^{\dagger}(y)\in$ Im(1$_E-u^{\dagger}\circ u$) là tương đương.