Exercice 9, § 2

Soient $u$ et $v$ des endomorphismes d’image fermée de E. Si $u+v$ est également d’image fermée, on pose $u:v=u\circ (u+v)^{\dagger}\circ v$, où $(u+v)^{\dagger}$ est le pseudo-inverse de Moore-Penrose de $u+v$.

a) Prouver que $u:v$ est auto-adjoint.

b) On a $u:v=v:u$ et Im($u:v$) $=$ Im($u$)$\cap$ Im($v$).

c) On suppose que $u$ et $v$ sont des orthoprojecteurs. Démontrer que $2u:v$ est l’orthoprojecteur d’image Im($u$)$\cap$ Im($v$).