Exercice 10, § 3

Soient $n\in \mathbf{N}$ et U un ouvert de $\mathbf{R}^n$. Soient $k\in \mathbf{N}$ et $p\in [1,+\infty [$. Soit $V\subset U$ un ouvert relativement compact.

Soit $\varphi \in \mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$ une fonction positive à support contenu dans la boule unité de $\mathbf{R}^n$ et d’intégrale 1. Pour tout $\varepsilon >0$ et $x\in \mathbf{R}^n$, on pose $\varphi_{\varepsilon}(x) =\varepsilon^{-n}\varphi (x/\varepsilon )$.

Soit $f\in W^{k,p}(U)$.

a) La restriction $f_V$ de $f$ à V appartient à $W^{k,p}(V)$.

b) Soit $\widetilde{f}$ la fonction sur $\mathbf{R}^n$ qui coïncide avec $f$ sur U et est nulle en dehors de U. Quand $\varepsilon \rightarrow 0$, la restriction de $\widetilde{f}*\varphi_{\varepsilon}$ à V appartient à $W^{k,p}(V)$ et converge vers $f_V$ dans $W^{k,p}(V)$.