Bài tập 10, § 3

Cho $n\in \mathbf{N}$ và U là một tập con mở của $\mathbf{R}^n$. Cho $k\in \mathbf{N}$ và $p\in [1,+\infty [$. Cho $V\subset U$ là một tập con mở tương đối compact.

Cho $\varphi \in \mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$ là một hàm dương có giá đỡ được chứa trong quả cầu đơn vị của $\mathbf{R}^n$ và có tích phân bằng 1. Với mọi $\varepsilon >0$ và $x\in \mathbf{R}^n$, đặt $\varphi_{\varepsilon}(x) =\varepsilon^{-n}\varphi (x/\varepsilon )$.

Cho $f\in W^{k,p}(U)$.

a) Hạn chế $f_V$ của $f$ trên V thuộc $W^{k,p}(V)$.

b) Gọi $\widetilde{f}$ là hàm trên $\mathbf{R}^n$ trùng với $f$ trên U và bằng không ở ngoài U. Khi $\varepsilon \rightarrow 0$, hạn chế của $\widetilde{f}*\varphi_{\varepsilon}$ trên V thuộc $W^{k,p}(V)$ và hội tụ tới $f_V$ trong $W^{k,p}(V)$.